| Titre : |
Eléments d'analyse T.1 fondements de l'analyse moderne |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
J. DIEUDONNE, Auteur ; D. HUET, Traducteur ; M. G. JULIA, Autre |
| Mention d'édition : |
3 ed. |
| Editeur : |
Gauthier-Villars |
| Année de publication : |
1969 |
| Importance : |
390 p. |
| Format : |
25 cm. |
| ISBN/ISSN/EAN : |
978-2-04-010410-8 |
| Note générale : |
Index. |
| Langues : |
Français (fre) Langues originales : Anglais (eng) |
| Catégories : |
MATHÉMATIQUES:Analyse
|
| Index. décimale : |
04-02 Analyse |
| Résumé : |
Les Éléments d'analyse sont une série de 9 volumes écrits par le mathématicien français Jean Dieudonné. À l'origine, seul le premier volume, Foundations of Modern Analysis, publié en 1960, était prévu. J. Dieudonné l'écrit à la suite d'une série de cours dispensés à l'université du Michigan. Dans ce premier volume, l'auteur souhaite présenter les connaissances minimales en analyse que doit acquérir un étudiant en mathématiques ou en physique.
1 Plan de l'ouvrage
1.1 Tome I : Fondements de l'Analyse moderne
1.2 Tome II :Eléments d'analyse
1.3 Tome III :Eléments d'analyse
1.4 Tome IV :Eléments d'analyse
1.5 Tome V : Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples
1.6 Tome VI : Analyse harmonique
1.7 Tome VII : Équations fonctionnelles linéaires, Première partie : Opérateurs pseudo-différentiels
1.8 Tome VIII : Équations fonctionnelles linéaires, Deuxième partie : problèmes aux limites
1.9 Tome IX : Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire
2 Références
Tome I1
I - Éléments de la théorie des ensembles.
1. Éléments et ensembles.
2. Calcul booléen.
3. Produit de deux ensembles.
4. Applications.
5. Images directes et réciproques.
6. Applications surjectives, injectives, bijectives.
7. Compositions d'applications.
8. Familles d'éléments. Réunion et intersection de famille d'ensembles.
9. Ensembles dénombrables.
II - Nombres réels.
1. Axiomes des nombres réels.
2. Structure d'ordre des nombres réels.
3. Borne supérieure et borne inférieure.
III - Espaces métriques.
1. Distances et espaces métriques.
2. Exemples de distances.
3. Isométries.
4. Boules, sphères, diamètre.
5. Ensembles ouverts.
6. Voisinages.
7. Intérieur d'un ensemble.
8. Ensembles fermés, points adhérents, adhérence d'un ensemble.
9. Parties denses, espaces séparables.
10. Sous-espaces d'un espace métrique.
11. Applications continues.
12. Homéomorphismes. Distances équivalentes.
13. Limites.
14. Suites de Cauchy, espaces complets.
15. Théorèmes élémentaires de prolongement.
16. Espaces compacts.
17. Ensembles compacts.
18. Espaces localement compacts.
19. Espaces connexes et ensembles connexes.
20. Produit de deux espaces métriques.
IV - Propriétés particulières à la droite réelle.
1. Continuité des opérations algébriques.
2. Fonctions monotones.
3. Logarithmes et exponentielles.
4. Les nombres complexes.
5. Le théorème de prolongement de Tietze-Urysohn.
V - Espaces normés.
1. Espaces normés et espaces de Banach.
2. Séries dans un espace normé.
3. Séries absolument convergentes.
4. Sous-espaces et produits finis d'espaces normés.
5. Condition de continuité d"une application multilinéaire.
6. Normes équivalentes.
7. Espaces d'applications multilinéaires continues.
8. Hyperplans fermés et formes linéaires continues.
9. Espaces normés de dimension finie.
10. Espaces normés séparables.
VI - Espaces de Hilbert.
1. Formes hermitiennes.
2. Formes hermitiennes positives.
3. Projection orthogonale sur un sous-espace complet.
4. Somme hilbertienne d'espaces de Hilbert.
5. Systèmes orthonormaux.
6. Orthonormalisation.
VII - Espaces de fonctions continues.
1. Espaces de fonctions bornées.
2. Espaces de fonctions continues bornées.
3. Le théorème d'approximation de Stone-Weierstrass.
4. Application.
5. Ensembles équicontinus.
6. Fonctions réglées.
VIII - Calcul différentiel.
1. Dérivée d'une application continue.
2. Règles formelles de dérivation.
3. Dérivées dans des espaces de fonctions linéaires continues.
4. Dérivées des fonctions d'une variable.
5. Le théorème de la moyenne.
6. Applications du théorème de la moyenne.
7. Primitives et intégrales.
8. Application : le nombre e.
9. Dérivées partielles.
10. Jacobiens.
11. Dérivée d'une intégrale dépendant d'un paramètre.
12. Dérivées d'ordre supérieur.
13. Opérateurs différentiels.
14. Formule de Taylor.
IX - Fonctions analytiques.
1. Séries entières.
2. Substitution de séries entières dans une série entière.
3. Fonctions analytiques.
4. Le principe de prolongement analytique.
5. Exemples de fonctions analytiques ; la fonction exponentielle ; le nombre p i {\displaystyle pi} pi.
6. Intégration le long d'une route.
7. Primitive d'une fonction analytique dans un domaine simplement connexe.
8. Indice d'un point par rapport à une circuit.
9. La formule de Cauchy.
10. Caractérisation des fonctions analytiques de variables complexes.
11. Le théorème de Liouville.
12. Suites convergentes de fonctions analytiques.
13. Ensembles équicontinus de fonctions analytiques.
14. La série de Laurent.
15. Points singuliers isolés ; pôles ; zéros ; résidus.
13. Le théorème des résidus.
14. Fonctions méromorphes.
Appendice au Chapitre IX. - Application des fonctions analytiques à la topologie plane.
1. Indice d'un point par rapport à un lacet.
2. Applications essentielles dans le cercle unité.
3. Coupures du plan.
4. Arcs simples et courbes fermées simples.
X - Théorèmes d'existence.
1. La méthode des approximations successives.
2. Fonctions implicites.
3. Le théorème du rang.
4. Équations différentielles.
5. Comparaison des solutions d'équations différentielles.
6. Équations différentielles linéaires.
7. Dépendance des paramètres.
8. Dépendance des conditions initiales.
9. Le théorème de Frobenius.
XI - Théorie spectrale élémentaire.
1. Spectre d'un opérateur continu.
2. Opérateurs compacts.
3. La théorie de F. Riesz.
4. Spectre d'un opérateur compact.
5. Opérateurs compacts dans les espaces de Hilbert.
6. L'équation intégrale de Fredholm.
7. Le problème de Sturm-Liouville.
Annexe - Éléments d'algèbre linéaire.
1. Espaces vectoriels.
2. Applications linéaires.
3. Sommes directes de sous-espaces.
4. Bases. Dimensions et codimension.
5. Matrices.
6. Applications multilinéaires. Déterminants.
7. Mineurs d'un déterminant. |
Eléments d'analyse T.1 fondements de l'analyse moderne [texte imprimé] / J. DIEUDONNE, Auteur ; D. HUET, Traducteur ; M. G. JULIA, Autre . - 3 ed. . - Gauthier-Villars, 1969 . - 390 p. ; 25 cm. ISBN : 978-2-04-010410-8 Index. Langues : Français ( fre) Langues originales : Anglais ( eng)
| Catégories : |
MATHÉMATIQUES:Analyse
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| Index. décimale : |
04-02 Analyse |
| Résumé : |
Les Éléments d'analyse sont une série de 9 volumes écrits par le mathématicien français Jean Dieudonné. À l'origine, seul le premier volume, Foundations of Modern Analysis, publié en 1960, était prévu. J. Dieudonné l'écrit à la suite d'une série de cours dispensés à l'université du Michigan. Dans ce premier volume, l'auteur souhaite présenter les connaissances minimales en analyse que doit acquérir un étudiant en mathématiques ou en physique.
1 Plan de l'ouvrage
1.1 Tome I : Fondements de l'Analyse moderne
1.2 Tome II :Eléments d'analyse
1.3 Tome III :Eléments d'analyse
1.4 Tome IV :Eléments d'analyse
1.5 Tome V : Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples
1.6 Tome VI : Analyse harmonique
1.7 Tome VII : Équations fonctionnelles linéaires, Première partie : Opérateurs pseudo-différentiels
1.8 Tome VIII : Équations fonctionnelles linéaires, Deuxième partie : problèmes aux limites
1.9 Tome IX : Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire
2 Références
Tome I1
I - Éléments de la théorie des ensembles.
1. Éléments et ensembles.
2. Calcul booléen.
3. Produit de deux ensembles.
4. Applications.
5. Images directes et réciproques.
6. Applications surjectives, injectives, bijectives.
7. Compositions d'applications.
8. Familles d'éléments. Réunion et intersection de famille d'ensembles.
9. Ensembles dénombrables.
II - Nombres réels.
1. Axiomes des nombres réels.
2. Structure d'ordre des nombres réels.
3. Borne supérieure et borne inférieure.
III - Espaces métriques.
1. Distances et espaces métriques.
2. Exemples de distances.
3. Isométries.
4. Boules, sphères, diamètre.
5. Ensembles ouverts.
6. Voisinages.
7. Intérieur d'un ensemble.
8. Ensembles fermés, points adhérents, adhérence d'un ensemble.
9. Parties denses, espaces séparables.
10. Sous-espaces d'un espace métrique.
11. Applications continues.
12. Homéomorphismes. Distances équivalentes.
13. Limites.
14. Suites de Cauchy, espaces complets.
15. Théorèmes élémentaires de prolongement.
16. Espaces compacts.
17. Ensembles compacts.
18. Espaces localement compacts.
19. Espaces connexes et ensembles connexes.
20. Produit de deux espaces métriques.
IV - Propriétés particulières à la droite réelle.
1. Continuité des opérations algébriques.
2. Fonctions monotones.
3. Logarithmes et exponentielles.
4. Les nombres complexes.
5. Le théorème de prolongement de Tietze-Urysohn.
V - Espaces normés.
1. Espaces normés et espaces de Banach.
2. Séries dans un espace normé.
3. Séries absolument convergentes.
4. Sous-espaces et produits finis d'espaces normés.
5. Condition de continuité d"une application multilinéaire.
6. Normes équivalentes.
7. Espaces d'applications multilinéaires continues.
8. Hyperplans fermés et formes linéaires continues.
9. Espaces normés de dimension finie.
10. Espaces normés séparables.
VI - Espaces de Hilbert.
1. Formes hermitiennes.
2. Formes hermitiennes positives.
3. Projection orthogonale sur un sous-espace complet.
4. Somme hilbertienne d'espaces de Hilbert.
5. Systèmes orthonormaux.
6. Orthonormalisation.
VII - Espaces de fonctions continues.
1. Espaces de fonctions bornées.
2. Espaces de fonctions continues bornées.
3. Le théorème d'approximation de Stone-Weierstrass.
4. Application.
5. Ensembles équicontinus.
6. Fonctions réglées.
VIII - Calcul différentiel.
1. Dérivée d'une application continue.
2. Règles formelles de dérivation.
3. Dérivées dans des espaces de fonctions linéaires continues.
4. Dérivées des fonctions d'une variable.
5. Le théorème de la moyenne.
6. Applications du théorème de la moyenne.
7. Primitives et intégrales.
8. Application : le nombre e.
9. Dérivées partielles.
10. Jacobiens.
11. Dérivée d'une intégrale dépendant d'un paramètre.
12. Dérivées d'ordre supérieur.
13. Opérateurs différentiels.
14. Formule de Taylor.
IX - Fonctions analytiques.
1. Séries entières.
2. Substitution de séries entières dans une série entière.
3. Fonctions analytiques.
4. Le principe de prolongement analytique.
5. Exemples de fonctions analytiques ; la fonction exponentielle ; le nombre p i {\displaystyle pi} pi.
6. Intégration le long d'une route.
7. Primitive d'une fonction analytique dans un domaine simplement connexe.
8. Indice d'un point par rapport à une circuit.
9. La formule de Cauchy.
10. Caractérisation des fonctions analytiques de variables complexes.
11. Le théorème de Liouville.
12. Suites convergentes de fonctions analytiques.
13. Ensembles équicontinus de fonctions analytiques.
14. La série de Laurent.
15. Points singuliers isolés ; pôles ; zéros ; résidus.
13. Le théorème des résidus.
14. Fonctions méromorphes.
Appendice au Chapitre IX. - Application des fonctions analytiques à la topologie plane.
1. Indice d'un point par rapport à un lacet.
2. Applications essentielles dans le cercle unité.
3. Coupures du plan.
4. Arcs simples et courbes fermées simples.
X - Théorèmes d'existence.
1. La méthode des approximations successives.
2. Fonctions implicites.
3. Le théorème du rang.
4. Équations différentielles.
5. Comparaison des solutions d'équations différentielles.
6. Équations différentielles linéaires.
7. Dépendance des paramètres.
8. Dépendance des conditions initiales.
9. Le théorème de Frobenius.
XI - Théorie spectrale élémentaire.
1. Spectre d'un opérateur continu.
2. Opérateurs compacts.
3. La théorie de F. Riesz.
4. Spectre d'un opérateur compact.
5. Opérateurs compacts dans les espaces de Hilbert.
6. L'équation intégrale de Fredholm.
7. Le problème de Sturm-Liouville.
Annexe - Éléments d'algèbre linéaire.
1. Espaces vectoriels.
2. Applications linéaires.
3. Sommes directes de sous-espaces.
4. Bases. Dimensions et codimension.
5. Matrices.
6. Applications multilinéaires. Déterminants.
7. Mineurs d'un déterminant. |
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